Covid19: Ο «Μέσος Ορος» μετάδοσης της νόσου δεν είναι το μήνυμα για το μέλλον

Γράφει ο Ηλίας Ηλιάδης

Πόσο μεγάλος είναι τελικά ο κίνδυνος που αντιμετωπίζουμε από το νέο κορωνοϊό;

Η απάντηση που προκρίνεται από την συντριπτική πλειοψηφία της επιστημονικής κοινότητας, συνήθως περιλαμβάνει τον υπολογισμό διάφορων επιδημιολογικών δεικτών (R0,CFR,IFR), οι οποίοι χρησιμοποιούνται ως τρόπος μέτρησης του κινδύνου. Στη συνέχεια με βάση αυτούς, γίνονται εκτιμήσεις για την πορεία της νόσου στο μέλλον. Μακάρι να ήταν τόσο απλό.

Υποστηρίζω τη θέση, πως οι αριθμητικές τιμές που λαμβάνουν οι συγκεκριμένοι δείκτες σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή, δεν είναι ούτε τόσο σημαντικές, ούτε τόσο ενδιαφέρουσες. Σε κάθε περίπτωση, υποτιμούν το μέγεθος του πραγματικού κινδύνου. Γιατί; Διότι δεν λαμβάνουν υπόψη τους το σπάνιο γεγονός, που στην περίπτωση μας έχει τη μορφή του super spreader event (εστία υπερμετάδοσης).

Τα δύο λάθη στην ερμηνεία του R0.

Το πρώτο λάθος: 

Το R0 ορίζεται ως ο μέσος ρυθμός μετάδοσης της νόσου. Η κυρίαρχη ερμηνεία του συγκεκριμένου δείκτη στη χώρας μας είναι η εξής: εάν για παράδειγμα R0 =1 τότε το κάθε κρούσμα θα παραγάγει ένα ακόμα. Έτσι τα συνολικά κρούσματα θα συνεχίσουν να αυξάνονται σιγά σιγά (ενδεχομένως με κάποια μικρά άλματα), μέχρις ότου η κατάσταση να γίνει μη διαχειρίσιμη. Η άποψη αυτή εμπεριέχει μια επικίνδυνη και εσφαλμένη παραδοχή. Υποθέτει πως η κατανομή του Covid-19, μπορεί να περιγραφεί εξολοκλήρου από το μέσο όρο (όπως συμβαίνει στην κανονική κατανομή). Ας δούμε γιατί είναι λάθος.

Φανταστείτε ένα τοξότη που του έχουμε δέσει τα μάτια, και έναν στόχο κρεμασμένο σε ένα τοίχο άπειρου μήκους. Ξεκινά να ρίχνει τυχαίες βολές. Κάποια βέλη θα πέσουν σε κοντινή απόσταση από το στόχο, οπότε στα αρχικά στάδια η μέση επίδοση του τοξότη θα συγκλίνει σε μια αναμενόμενη τιμή. Παρόλα αυτά το πρώτο βέλος που θα φύγει παράλληλα με τον τοίχο, θα καταλήξει σε μια απόσταση αρκετών εκατοντάδων μέτρων μακριά από το στόχο (εάν έχει δυνατά χέρια, αυτή η απόσταση μπορεί να φτάσει και τα 1-2 χιλιόμετρα). Ως αποτέλεσμα, η απόσταση της παράλληλης βολής θα ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων δεκάδων ή εκατοντάδων άλλων, οι οποίες έπεσαν πιο κοντά στο στόχο.

Εάν η συγκεκριμένη διαδικασία επαναληφθεί πολλές φορές, τότε θα διαπιστώσουμε ότι η μέση επίδοση του τοξότη μας δεν θα συγκλίνει ποτέ σε μια αναμενόμενη τιμή – για την ακρίβεια, θα υπάρχουν άπειρες αναμενόμενες τιμές και άπειρη διακύμανση. Επομένως ο μέσος όρος που θα προκύψει δεν είναι πεπερασμένος. Τείνει και αυτός στο άπειρο. 

Ένα πιο πρακτικό και απλουστευμένο παράδειγμα.

Ο μέσος Αμερικανός ζυγίζει περίπου 91 κιλά (200 pounds). Εάν βάλουμε 1000 Αμερικανούς στη σειρά και το δείγμα μας είναι αντιπροσωπευτικό του γενικού πληθυσμού, περιμένουμε πως ο μέσος όρος του βάρους τους θα βρίσκεται πολύ κοντά στα 91 κιλά. Έστω τώρα ότι προσθέτουμε μια ακραία τιμή στο δείγμα μας, βάζοντας δίπλα τους τον παχύτερο άνθρωπο στην ιστορία της ανθρωπότητας (635 κιλά). Ο νέος μέσο όρος των 1001 ατόμων υπολογίζεται στα 91,54 κιλά. Η ακραία τιμή δεν είχε την παραμικρή επίδραση στο μέσο όρο. Το ίδιο θα ισχύσει, ακόμα και αν προσθέσουμε έναν υποθετικό άνθρωπο των 1000 κιλών (ο μέσος όρος εδώ είναι 91,9). Είναι προφανές, πως το βάρος των ανθρώπων ακολουθεί κανονική κατανομή.

Πάμε στη δεύτερη περίπτωση: 

Σύμφωνα με τα πιο πρόσφατα στοιχεία της FED, η μέση καθαρή αξία (net worth) των Αμερικανών είναι 691.000 δολάρια. Έτσι με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω, η μέση καθαρή αξία ενός αντιπροσωπευτικού δείγματος 1000 Αμερικανών, θα προσεγγίζει αυτό το νούμερο. Στη συνέχεια, ας βάλουμε δίπλα μια ακραία τιμή – ας πούμε τον Bill Gates, του οποίου η καθαρή αξία είναι περίπου 100 δις (η παράλληλη βολή).

Ο μέσος όρος που προκύπτει είναι πάνω από 100 εκατομμύρια – καμία σχέση με αυτόν που θα περιμέναμε. Η επίπτωση της ακραίας τιμής, έχει διαστρεβλώσει εντελώς τον μέσο όρο. (σε όσους σπεύσουν να μου επισημάνουν τον νόμο των μεγάλων αριθμών, απαντώ πως δεν είμαστε καθόλου σίγουροι ότι θα διαθέτουμε τον απαιτούμενο όγκο παρατηρήσεων, ώστε να τον εκμεταλλευτούμε. Συνεπώς συχνά μας είναι άχρηστος στη λήψη αποφάσεων σε πραγματικό χρόνο).

Η μέση (RO) δεν είναι το μήνυμα.

Η σημαντικότερη επωδός που προκύπτει, είναι πως εξαιτίας του σπάνιου γεγονότος (με την έννοια της ακραίας τιμής ή της παράλληλης βολής) και της τεράστιας επίδρασης που ασκεί στην κατανομή, δεν μπορούμε να εμπιστευτούμε το μέσο όρο για να εξάγουμε αξιόπιστα συμπεράσματα. Η αναγωγή στο μέσο όρο δεν μας εξυπηρετεί, και δεν περιγράφει την (fractal) κατανομή του κορωνοϊού. Το κάθε κρούσμα θα συνεχίσει να παραγάγει ακόμα ένα, μέχρι η δειγματική μας διαδρομή να συναντήσει το σπάνιο γεγονός. Η μέση δεν είναι το μήνυμα.

Όλα αυτά φυσικά δεν σημαίνουν, πως ο κίνδυνος που αντιμετωπίζουμε είναι άπειρος – είναι όμως πολύ μεγαλύτερος από όσο «δείχνει» το R0. 

Επίσης όσο τα κρούσματα αυξάνονται και το έργο της πολιτείας στον εντοπισμό και την ιχνηλάτηση δυσχεραίνεται, τόσο το ρίσκο της ακραίας τιμής συσσωρεύεται. 

Η υποχρεωτική χρήση μάσκας σε όλους τους χώρους.

Η απαγόρευση των συναθροίσεων και  ο καθορισμός ενός ανώτατου ορίου πελατών για την εστίαση, μοιάζουν πλέον αναπόφευκτα ώστε να αποφύγουμε το καθολικό lockdown. 

Μετά από τόσες και τόσες άστοχες προβλέψεις για την εξέλιξη της πανδημίας, πότε θα αποφασίσουμε ότι οι μέθοδοι που χρησιμοποιούμε έχουν συγκεκριμένες, δομικές αδυναμίες; 

Το R0 μας παρέχει ορισμένες πληροφορίες για το παρελθόν – απολύτως τίποτα όμως για το μέλλον.  

ΥΓ. Ευχαριστώ τον κ. Γιώργο Παππά για τις συμβουλές του.


Ο Ηλίας Ηλιάδης είναι Οικονομολόγος